funciones trigonométricas

Funciones expotenciales 

Formula general

La forma general para una función exponencial es y = b·ax donde estánconstantes a y b. b se puede considerar el valor inicial. Esto es porque, cuando x = 0, ax = 1, tan b·ax= b. El valor de a determina el índice de crecimiento o el decaimiento.

Funciones exponenciales donde a > 1 es funciones de crecimiento exponencial. Esto es porque el valor de la función aumenta siempre. Funciones exponenciales donde a < 1 se llama las funciones del decaimiento exponencial porque el valor de la función disminuye siempre

Modelo grafico

Dibuje la gráfica de F(x)=2^x+1 .

Solución:

Dominio: (-∞,∞)

Alcance: (1,∞)  

Como a=2>1 por lo tanto la gráfica de la función es creciente en todo su dominio.

Pasa por el punto (0,2), que  es el intercepto en el eje de y, no hay intersecciones en el eje de x.

lim_x→-∞(2^x+1)=1 → y=1 es una asíntota horizontal por la izquierda

  Funcion logaritmica y modelo grafico

La función logarítmica "básica" es la función,y = log b x , donde b > 0 y b ≠ 1.

La gráfica de la función logarítmica y = log 10x se muestra a continuación.

Observe que la función logarítmica es la inversa de la función exponencial y = b x y tiene las siguientes propiedades.

1. El dominio es el conjunto de todos los números reales positivos.
2. El rango es el conjunto de todos los números reales.
   (Ya que la función logarítmica es la inversa de la función exponencial, el dominio de la función logarítmica es el rango de la función exponencial y el rango de la función logarítmica es el dominio de la función exponencial)
3. La función es continua y uno-a-uno.
4. El eje de las y es la asíntota de la gráfica.
5. La gráfica intersecta al eje de las x en (1, 0). Esto es, la intercepción en x es 1.

Propiedades de los logaritmos

. El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores:

Ejemplo

2. El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor:

Ejemplo

3. El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base:

Ejemplo

4.El logaritmo de una raíz es igual al cociente entre el logaritmo del radicando y el índice de la raíz:

Ejemplo

5. Cambio de base:

Ejemplo

Cambio de base

cambio de base logoritmo se utiliza para cambiar la base de logaritmos. El cambio de la fórmula baja es .

Cuando los logaritmos primero fueron inventados, no había calculadoras. Los matemáticos y los astrónomos utilizaron los libros publicados con las tablas de logaritmos. Cada tabla tenía exactamente una base. Para encontrar un logaritmo con otra base, utilizaron el cambio de la fórmula baja.

Hoy, la mayoría de las calculadoras y de los programas de computadora basados matemáticas tienen logaritmos en dos bases: base 10 y base e. Para encontrar un logaritmo en cualquier otra base, una debe utilizar el cambio de la fórmula baja.

Ecuaciones expotenciales y logarutmicas

En algunas ecuaciones exponenciales es necesaria la aplicación de logaritmos para poder resolverlas. Esto ocurre básicamente cuando las exponenciales no tienen la misma base. Por ejemplo, la solución de la ecuación $6^{x+1}=2^x$ es

En esta página vamos a resolver 10 ecuaciones de este tipo. Para comprender los pasos se necesita conocer la definición y las propiedades de los logaritmos que damos a continuación.
Nota: no calcularemos las soluciones complejas.

2. Definición y propiedades del logaritmo

El logaritmo en base $b$ del número positivo $a$se denota por $lo{g}_b\left(a\right)$ y su valor es el número $c$ al que se debe elevar la base del logaritmo, $b$, para obtener el número $a$. Es decir,

$$lo{g}_b\left(a\right)=c\iff b^c=a$$

Ejmplos:

• el logaritmo en base 2 de 8 es 3 porque 2 al cubo es 8:
  
  
• el logaritmo en base 10 de 100 es 2 ya que 10 al cuadrado es 100:
  
  
• el logaritmo en base $e$ (logaritmo natural, $lo{g}_e=ln$) de $e^3$ es 3 ya que $e$ al cubo es $e^3$:
  
  

Las propiedades de los logaritmos son las siguientes:

Logaritmo del producto:

Logaritmo del cociente:

*Logaritmo de la potencia:

Cambio de base:

Propiedad útil en la práctica:

*La tercera propiedad es principalmente la que facilita la resolución de las ecuaciones exponenciales puesto que permite escribir la incógnita (que está en el exponente) como un factor que multiplica a un número (al logaritmo).

Funciones trigonométricas

son las funciones establecidas con el fin de extender la definición de las razones trigonométricas a todos los números reales y complejos.

Las funciones trigonométricas son de gran importancia en fisica, astronomía, cartografía, náutica, telecomunicaciones, la representación de fenómenos periódicos, y otras de muchas aplicaciones. 

 Las funciones  y = sin x,  y = cos x,  y = tg x.

  Conviene que comencemos repasando la noción trigonométrica de seno, coseno y tangente de un ángulo.

   Sea un triangulo rectángulo, como el del gráfico presente, siendo los catetos los lados "a" y "b", y la hipotenusa el lado mayor (opuesto al ángulo recto) "c". Las relaciones entre los catetos y la hipotenusa se llaman seno, coseno y tangente, es decir:

    El seno (sin ó sen) es el cociente entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa.
    El coseno (cos) es el cociente entre el cateto adjunto al ángulo y la hipotenusa.
    La  tangente (tg ó tan) es el cociente entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa.
    La tangente puede considerarse también como el cociente del seno entre coseno.

 -  En Cálculo los ángulos suelen expresarse en radianes más bien que en grados. Siga el enlace si no domina bien el concepto de "radian".

  -  Como c > a  y también c > b, se tiene que el seno y el coseno no pueden supera al valor 1; cosa que no sucede con la tangente. Por otra parte, lo valores de a y b pueden ser positivos o negativos:

Características 

Las características fundamentales de la función seno son las siguientes:

 Su dominio es R y es continua.

 Su recorrido es   [- 1, 1]   ya que   - 1 ≤ sen x ≤ 1 .

 Corta al eje X en los puntos   k·π   con   k∈Z .

    Corta al eje Y en el punto   (0, 0) .

Es impar, es decir, simétrica respecto al origen.

    sen (- x) = - sen (x)

 Es estrictamente creciente en los intervalos de la forma   (a, b)   donde   a = - π/2 + 2·k·π    y   b = π/2 + 2·k·π   siendo   k∈Z .

    Es estrictamente decreciente en los intervalos de la forma   (a, b)   donde   a = π/2 + 2·k·π    y   b = 3π/2 + 2·k·π   siendo   k∈Z .

 Tiene infinitos máximos relativos en los puntos de la forma   (π/2 + 2·k·π, 1)  con   k∈Z .

    Tiene infinitos mínimos relativos en los puntos de la forma   (3π/2 + 2·k·π, - 1) con   k∈Z .

 Es periódica de periodo   2π .

     sen (x) = sen (x + 2π)

     La función   f(x) = sen (k·x)   es periódica de periodo p = 2π/k

     Para   |k|>1   el periodo disminuye y para   0 < |k| <1   el periodo aumenta.

 -Está acotada superiormente por 1 e inferiormente por - 1.

Modelo gráfico 

 https://youtu.be/ebc9KdxBQs0

https://youtu.be/uMPx37LRI2E

Función Racional

Una función racional de una variable es una función que puede ser expresada de la forma:

${\displaystyle f(x)={\frac {P(x)}{Q(x)}}}$

donde P y Q son polinomios y x una variable, siendo Q distinto del polinomio nulo, esta fracción es irreducible, es decir que las ecuaciones P(x) = 0 y Q(x) = 0 carecen de raíces comunes. Esta definición puede extenderse a un número finito pero arbitrario de variables, usando polinomios de varias variables.

La palabra "racional" hace referencia a que la función racional es una razón o cociente (de dos polinomios); los coeficientes de los polinomios pueden ser números racionales o no.

Las funciones racionales tienen diversas aplicaciones en el campo del análisis numérico para interpolar o aproximar los resultados de otras funciones más complejas, ya que son computacionalmente simples de calcular como los polinomios, pero permiten expresar una mayor variedad de comportamientos.

Ejemplo: 

https://www.youtube.com/watch?v=nnAphQdFmJ0 

funciones cuadraticas

se denomina función al vínculo entre dos conjuntos a través del cual a cada elemento del primer conjunto se le asigna un solo elemento del segundo conjunto o ninguno. La idea de cuadrático, por otra parte, también se usa en el ámbito de las matemáticas, aludiendo a aquello relacionado con el cuadrado
función cuadrática a la función matemática que se puede expresar como una ecuación que tiene la siguiente forma: f (x) = ax al cuadrado + bx + c.
a, b y c son los términos de la ecuación: números reales  con a siempre con valor diferente a 0.

Caso 1 La parábola intercepta el eje de las x− en dos puntos.

Un ejemplo de este caso es 

y=x2+x−6.

Podemos encontrar las soluciones a la ecuación x2+x−6=0haciendo y=0. Resolvemos la ecuación factorando: (x+3)(x−2)=0, así x=−3 o x=2.

Otra forma de encontrar las soluciones es graficar la función y obtener los intersectos en x− a partir de la misma. Vemos que la parábola intercepta el eje de las x− en x=−3 y x=2.

Cuando la gráfica de una función cuadrática intercepta el eje x en dos puntos, obtenemos dos soluciones distintas para la ecuación cuadrática.

raíces  y el discriminante 

Raíces de una Función Cuadrática

La siguiente aplicación nos muestra otra forma de expresar las funciones cuadráticas.

En la aplicación anterior al escoger a = 1, $r$ 1 = 1 y $r$ 2 = 2 resulta la gráfica de la ecuación cuadrática
Selecciona la caja rotulada Intersección con el eje. Nota que $r$ 1 y $r$ 2 son los valores de x donde f(x) = 0. Estos valores se conocen como las raíces de la función cuadrática.
Si realizamos la multiplicación, obtenemos la fórmula de la función correspondiente en su forma general.

Esto nos indica que si tenemos la fórmula y la factorizamos obtenemos las raíces de una función cuadrática. En esta sección utilizaremos lo aprendido en la lección de factorización.

https://www.youtube.com/watch?v=klfx35lUALU

formas estandar 

La forma estándar de una ecuación cuadrática es y = ax^2 + bx + c, donde a, b y c son coeficientes y la y y la x son variables. Es más fácil resolver una ecuación cuadrática cuando está en su forma estándar ya que puedes computar la solución con a, b y c. De todos modos, si necesitas graficar la función cuadrática, o parábola, el proceso es más simple cuando la ecuación está en la forma canónica. Esta es de la forma: y = m(x-h)^2 + k

Encuentre el vértice de la gráfica de cada función y lo identifican como un punto mínimo o máximo. 
a) f (x) = - (x + 2) ² - 1 
b) f (x) =-x ² + 2 
c) f (x) = 2 (x - 3) ²

a) f (x) = - (x + 2)² - 1 = - (x - (-2)) ² - 1 
a = -1, h = -2, k = -1. El vértice está en (-2, -1) y es un punto máximo ya que es negativo. 

b) f (x) =-x ² + ² = - (x - 0) ² + 2 
a = -1, h = 0 y k = 2. El vértice está en (0,2) y es un punto máximo ya que es negativo. 

c) f (x) = 2 (x - 3) ² = 2 (x - 3) ² + 0 
a = 2, h = 3 y k = 0. El vértice está en (3,0) y es un punto mínimo desde que es positivo.

https://www.youtube.com/watch?v=tnIUrm-sgho

 Forma factorizada

    Toda función cuadrática se puede factorizar en función de sus raíces. Dada:

    se puede factorizar como:

    siendo a el coeficiente principal de la función, por ello se extrae siempre como factor común, de no escribirse, el coeficiente de x² sería siempre 1. x₁ y x₂ representan las raíces de f(x). En el caso de que el Discriminante Δ sea igual a 0 entonces x₁ = x₂ por lo que podríamos escribir:

    En este caso a x₁ se la denomina raíz doble, ya que su orden de multiplicidad es 2.

https://www.youtube.com/watch?v=QpuVMeFUppQ